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Nutzenmöglichkeitskurve im Punktsinn5.1.1.3 Mathematische Herleitung der KontraktkurveDie Produktions-Box
ie mathematische Ableitung der Gleichgewichtsbedingung für die Kontraktkurve ist nicht weiter schwierig. Als Nebenbedingung gilt zunächst, dass die vorgegebenen Gütermengen vollständig auf Konsument und Konsumentin verteilt werden
\[{Z_G} = {Z_M} + {Z_W}\tag{1}\] \[{B_G} = {B_M} + {B_W}\tag{2}\]mit $Z_G$ und $B_G$ als Gesamtmengen an Bier und Zigaretten. Desweiteren formulieren wir als Nebenbedingung einen konstanten Nutzen für die Konsumentin
\[\overline {{U_W}} = {U_W}\left( {{B_W},{Z_W}} \right)\tag{3}\]d.h. wir wählen eine Indifferenzkurve für sie aus, um sodann (Zielfunktion) die höchste Indifferenzkurve für den Konsumenten unter diesen Restriktionen zu ermitteln
\[{U_M}\left( {{B_M},{Z_M}} \right) \to \max !\tag{4}\]Zur Lösung des Problems wird die Lagrange-Methode eingesetzt
\[{\rm{\Lambda = }}{U_M}\left( {{B_M},{Z_M}} \right) + {\lambda _1}\left( {{Z_G} - {Z_M} - {Z_W}} \right) + {\lambda _2}\left( {{B_G} - {B_M} - {B_W}} \right) + {\lambda _3}\left( {\overline {{U_W}} - {U_W}\left( {{B_W},{Z_W}} \right)} \right)\tag{5}\]angewandt, wobei $\lambda_i$ Lagrangemultiplikatoren sind. Durch partielles Differenzieren nach den vier Variablen und Nullsetzen erhält man als notwendige Bedingung für ein Maximum
\[\cfrac{{\partial {U_M}}}{{\partial {B_M}}} - {\lambda _2} = 0\tag{6a}\] \[\cfrac{{\partial {U_M}}}{{\partial {Z_M}}} - {\lambda _1} = 0\tag{6b}\] \[ - {\lambda _2} - {\lambda _3}\cfrac{{\partial {U_W}}}{{\partial {B_W}}} = 0\tag{6c}\] \[ - {\lambda _1} - {\lambda _3}\cfrac{{\partial {U_W}}}{{\partial {Z_W}}} = 0\tag{6d}\]Durch Elimination der Lagrangemultiplikatoren erhält man aus (6a) bis (6d) mit einfachen Umformungen
\[\cfrac{{\,\,\cfrac{{\partial {U_M}}}{{\partial {B_M}}}\,\,}}{{\cfrac{{\partial {U_M}}}{{\partial {Z_M}}}}} = \cfrac{{\cfrac{{\partial {U_W}}}{{\partial {B_W}}}}}{{\,\,\cfrac{{\partial {U_W}}}{{\partial {Z_W}}}\,\,}}\tag{7}\]die Gleichgewichtsbedingung formuliert in Grenznutenrelationen. Da das umgekehrte Verhältnis der Grenznutzen der absoluten Grenzrate der Substitution entspricht, gilt
\[GRS_{{Z_M},{B_M}}^M = GRS_{{Z_W},{B_W}}^W\tag{8}\]Die hinreichende Bedingung für ein Maximum ist aufgrund der Annahmen erfüllt. (Im übrigen erkennt man hier noch einmal formal, dass das Ergebnis des Tausches nicht eindeutig bestimmt ist: 7 Gleichungen [(6a) - (6d) und die drei Nebenbedingungen] stehen zwar für 7 unbekannte Größen zur Verfügung [die vier Variablen und die drei Lagrangemultiplikatoren], doch haben wir einen Freiheitsgrad des Systems durch die willkürliche Festsetzung des Nutzens der Konsumentin mit $\overline {{U_W}}$ verbraucht.
Grafisch entspricht die Grenzrate der Substitution der Steigung der Indifferenzkurven. Gleichgewichtsbedingung (8) zeigt also, dass die Steigungen der Indifferenzkurven von Konsument und Konsumentin gleiche Steigungen aufweisen müssen. Das ist überall auf der Kontraktkurve der Fall: